■約数の和(その33)

 奇数の完全数はまだみつかっていません.奇数の完全数が存在するかは未解決の難問になっています.

 (その1)で

[1]奇数の完全数は平方数に奇数をひとつかけたものである.

[2]奇数の完全数を

  p^aq^br^c・・・

とすると,p,q,r,・・・は4n+1型素数で,a,b,cが偶数出なければならない.

[3]少なくとも8個の素因数をもつ.

[4]ある素数の累乗(10^18よりおおきいもの)で割り切れる.

[5]最大の素因数は300000以上

[6]2番目の素因数は1000以上

[7]10^9118以下の奇数の完全数はある素数の6乗で割り切れる.

と書きましたが,少しずつ進歩しているようです.

[1]10^1500より大きい.

[2]少なくとも75個の素因数をもたなければならない.

[3]こららの素因数のうち,少なくとも9個は相異ならなければならない.

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[4]ついでに,双子素数に関連して

(n,n+2)のそれぞれの素因数がたかだか9個であるようなnは無限個存在する(ブルン).

[5]リーマン予想が真ならば,x>πに対して,x^3と(x+1)^3の間には少なくとも9個の素数が存在する.

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