【１】ガウスの素数定理予想

１００以下の素数は２５個，１０１から２００までの素数は２１個あります．素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

素数定理とは，

π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味です．

　素数定理を予想するにはたくさんの素数が必要になり，実際，素数定理はガウスが素数表を眺めていたときに（実験的に）発見されました．素数定理は，ランダムにとった整数ｘが素数である確率がおよそ１／ｌｏｇｘだと主張しているのですが，素数定理を合理的に予想するための簡単な発見的議論を示しておきます．

（ラフプロット）整数ｘが素数である確率がｆ（ｘ）で表されるものとすると，確率１／ｘで自分より大きい素数を割り切ることになります．ここで，ｘをｘ＋１に変更すると

　　ｆ（ｘ＋１）≒ｆ（ｘ）（１−ｆ（ｘ）／ｘ）

したがって，

　　ｆ’（ｘ）＝−（ｆ（ｘ））^2／ｘ

より，

　　ｆ（ｘ）＝１／ｌｏｇｘ

を得ることができるのです．

さらに，ガウスは対数表の裏表紙に

　　２つの素因数をもつ数〜（ｌｏｇｌｏｇｘ）・ｘ／ｌｏｇｘ　　　

　　３つの素因数をもつ数〜１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2・ｘ／ｌｏｇｘ　

と書き込んだことが伝えられています．

ｅｘｐｘ〜１＋ｘ＋ｘ^2／２・・・・

　　ｘ←ｌｏｇｌｏｇｘを代入すると

　　ｌｏｇｘ〜１＋ｌｏｇｘｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・

となることが示されます．

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