調和級数の収束性

平方数の逆数の和

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋１／６^2＋１／７^2＋・・・＝π^2／６＜２

は収束しますが，自然数の逆数の和（調和級数）は発散します．

　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・＝∞

（証）

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

　奇数項だけを集めて作った級数は，調和級数よりも増加の速度は遅いものの発散します．

　　１／１ ＋１／３ ＋１／５ ＋１／７ ＋・・・

　＞１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・

　＝１／２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞

同様に，偶数項だけ集めて作った級数も収束せず無限大に発散します．

　１／２＋１／４＋１／６＋・・・

＝２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・）→∞

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調和級数の交代級数

　１／１-１／２＋１／３-１／４＋１／５-１／６＋１／７＋・・・＝log2=0.6931

の極限値はlog2=0.6931になります。

すなわち、この級数は条件収束する級数なのですが、リーマンの級数定理によると

条件収束する級数は項の順序を入れ替えることによって、どんな和にも収束させることができます。

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