収束の遅い級数には、diet調和級数の収束がある。

調和級数は発散するが，分母にひとつでも９が現れるものを削除すると，発散しなくなります．和は有限となって約22.92となることがわかっています。

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【１】無零調和級数の収束

［Ｑ］分母に０が含まれている項をすべて取り除けば無零調和級数は収束する．

［Ａ］１０^α-1と１０^αの間にある無零数の個数は９^α個だから，その間にある無零数の逆数の和は９^α／１０^α-1より小さい．したがって，

　　Σ１／ａ＜Σ９^α／１０^α-1＝９／（１−９／１０）＝９０

実際に，どこにも０がでてこない整数の逆数和は，収束はすごく遅いのですが，２３．１０３４５・・・に収束します．

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　９抜き→約22.92

でも

０抜き→２３．１０３４５・・・

でも，どの１桁の数字を抜いても残った項は有限の値に収束するのです．さらにいうと１桁の数に限る必要はなく，どんな数を抜いても間引いた調和級数は収束します．９でも３１４１５９でも同じ理由から収束するのです．

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(1/9-1/10)+(1/19-1/20)+(1/29-1/30)+・・・=23.10-22.92=0.18となる

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