有理数p/qに対応するフォード円は、直径が1/q^2であって、数直線のp/qにおいて接する円である。

一方、分母が高々ｄの有理数からなる数列を位数ｄのファレイ数列といい、その各項は高さが1/d^2以上1/(d+1)^2未満の任意の水平線と交わるフォード円と対応している。

位数４のファレイ数列は[0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1]であることが分かる

また、これよりディオファントス近似に関する定理

｜α-p/q｜＜1/2q^2を満たすものが無数に存在することも理解される

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　任意の実数αは

　　α＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑｎ

　　０≦Ｑ＜ｎ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＝１

の形に表される．

（証）ファレイ数列の中から相隣る２項ａ／ｂ，ｃ／ｄをとって，

　　ａ／ｂ≦α＜ｃ／ｄ

となったとする．２つの場合，

　　ａ／ｂ≦α＜（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）

　　（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）≦α＜ｃ／ｄ

に分かれるから，以下の２つの不等式のいずれか一方が成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／ｂ（ｂ＋ｄ）

　　｜α−ｃ／ｄ｜≦１／ｄ（ｂ＋ｄ）

ｂ＋ｄ＞ｎであることを考えればＱＥＤ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．

　たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝