半角

(cosθ/2)^2=(1+cosθ)/2

(tanθ/2)^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)

二面角は既知

3次元

cosδ= 1/3→2/3,1/2

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/3→1/3,2

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7-3√5)/2

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4次元

cosδ= 1/4→5/8,3/5

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -(1+√5)/4→(3-√5)/8,5+2√5

cosδ= -(1+3√5)/8→(7-3√5)/16,27+12√5

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ｎ次元

cosδ= 1/n→(n+1)/2n,(n-1)/(n+1)

cosδ=0→1/2,1

cosδ= -(n-2)/n→1/n,n-1

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ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ＝1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝ √2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ＝2φ

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正八面体では

cosδ= -1/3→1/3,2

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３・・・(sec)^2

　　　　３　　　１　　　２・・・(tan)^2

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝√2と一致 　

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正16胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　２　　　１　　　４・・・(sec)^2

　　　　３　　　３　　　１　　　３・・・(tan)^2

　　　　　　４　　　１　　　２

　　　　　　　　１　　　１　

　　　　　　　　　　０

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立方体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　１・・・(sec)^2

　　　　１　　　３　　　１・・・(tan)^2

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

α=π/4,β=π/3→一致 　

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a=(1)^1/2, b=(1)^1/2,c=(1)^1/2→一致

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正8胞体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　２　　　１・・・(sec)^2

　　　　１　　　３　　　３　　　１・・・(tan)^2

　　　　　　１　　　４　　　１

　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０

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正四面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　４　　　１　　3/2・・・(sec)^2→(0.2)=2が推奨されている

　　　　３　　　３　　　1/2・・・(tan)^2

　　　　　　２　　　1/2

　　　　　　　　０

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a=(2)^1/2, b=(2/3)^1/2,c=(1/3)^1/2→一致

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正5胞体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　４　　　１　　　４　　　１　　　　8/5・・・(sec)^2→(0.2)=2が推奨されている

　　　　３　　　３　　　３　 3/5・・・(tan)^2

　　　　　　８　　　２　　　4/5

　　　　　　　　５　　　1/5

　　　　　　　　０

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