■ABCからDEへ(その194)

[1]一般に単体においては

  cosδ=1/n

  cosρ=cos(δ/2)={(1+cosδ)/2}^1/2

 ={(1+1/n)/2}^1/2

n=8のとき,cosρ=3/4

[2]一般に正軸体においては

  cosδ=−(n−2)/n

  cosρ=cos(δ/2)={(1+cosδ)/2}^1/2

 ={(1−(n−2)/n)/2}^1/2

n=8のとき,cosσ=1/2√2

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n=8のとき

[1]γ=ρ=35.2644°2=δ/2になる.

[2]γ=σ=54.7656°=δ/2になる.

 n=8では

  δs+2δc=2π

  ρ+2σ=π

したがって,421多面体,521格子が限界である.

 E群には

  cos2ρ=1/8,cos^2σ=1/8,cosσ=1/2√2

  cos2ρ=2cos^2ρ−1=1/8,cos^2σ=1/8

  cosρ=3/4,cos2σ=2cos^2σ−1=−3/4

  sinρ=√7/4,sin2σ=√7/4

  cos(ρ+2σ)=−9/16−7/16=−1

  ρ+2σ=π

となる二面角が存在するはずである.

 n=8のとき,cosρ=3/4,cosσ=1/2√2は

  E9=E8~

であることを意味している.

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kaleidoscope,p327で使われている球面三角法は

Napierの規則である。

[a]cosc=cosacosβ=cotαcotβ

[b]cosα=sinβcosa=cotctanb

[c]cosβ=sinαcosb=cotctana

[d]sina=sinccsinα=cotβtanb

[e]sinb=sinccsinβ=cotαtana

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