簡単な置換則

　　ａ→ａｂ，ｂ→ａ

を考える．

ａ

ａｂ

ａｂａ

ａｂａａｂ

ａｂａａｂａｂａ

ａｂａａｂａｂａａｂａａｂ

　これはフィボナッチ列と呼ばれるもので，ペンローズ模様と同様，自己相似性はあっても周期性はない．また，出現頻度に関してａ：ｂ＝τ：１に近づく．このことからも周期性がないことが理解される．もし周期性があるなら出現頻度は整数比になるからである．

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　簡単な置換則

　　０→０１，１→１０

をもとに非周期的で再帰的に計算可能な数列を生成してみる．

０

０１

０１１０

０１１０１００１

０１１０１００１１００１０１１０

　これはスー・モース数列と呼ばれるもので，この数列に自己相似という性質がある．たとえば，この数列をひとつ置きに選んでも同じ数列が得られる．最初の２つの数字を選ぶ，次の２つの数字を捨てるという操作を繰り返しても同じ数列が得られる．すなわち，この数列は非周期的ではあるが，まったくランダムではなく，強固な短期的・長期的構造をもっていて，同じ数字が３つ以上続くことはない．

　もちろん，Thue-Morse

　　ａ→ａｂ，ｂ→ｂａ

としても同じことである．

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generalized Thue-Morse substitution

　　ａ→ａ^mｂ^m，ｂ→ｂ^mａ^m

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