正多面体の二面角δは

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／５

と計算される．

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1辺1+ｒの正三角形を考える

B(0,0)

P(1,0)

C(1+r,0)

A((1+r)/2,(1+r)√3/2）

Q((1+r)-(1+r)/2・1/(1+r),(1+r)√3/2)・1/(1+r))=((1+2r)/2,√3/2)

R((1+r)/2・r/(1+r),(1+r)√3/2・r/(1+r)）=(r/2,r√3/2)

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LはAP とBQの交点

AP

y=m(x-1)

m=((1+r)√3/2)/((1+r)/2-1)

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

x=(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=a

y=a√3/(1+2r)a△

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MはBQとCRの交点

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

CR

y=m(x-1-r)

m=r√3/2)/(r/2-1-r)

x=r(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=ra

y=ra√3/(1+2r)=ra△

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A(r+1-a,a△,0)

B(a,a△cosδ,a△sinδ)

C(ra,ra△cosδ,ra△sinδ)

AB=ACを整理すると

2(r+1)-a(r+3)+a△^2{2cosδ-r-1}=0

r^3-r^2-r-1+(1+3cosδ)/2=0

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　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

を代入すると、それぞれ

r^3-r^2-r-1+1=0

r^3-r^2-r-1+0=0

r^3-r^2-r-1-1/φ=0

したがって

r^3-r^2-r-1-2cos(360/q)=0と置き換えることができる

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