■eやπに収束する分数列(その37)

 (その26)では,eに対して,

  Pk=pk+qk,Qk=−pk+qk

とおいた.一方,(その31)(その32)では,π/4に対して,

  Pk=pk+qk,Qk=qk

とおいた.

 普通に考えれば

  Pk=pk+qk,Qk=qk

でよいと思われるのであるが,eでは2項ずつまとめた影響が出ているのかもしれない.

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  e=1+x+x^2/2+x^3/6+・・・

を連分数表示して,

  e=1//1−x//1+x//2−x//3+x//2−x//5+x//2−x//7+・・・

 x=1とすれば,逐次近似分数は

  1/1,1/0,3/1,8/3,19/7,87/32,193/71,1264/465,2721/1001,・・・

なのですが,ここで,−x//1+x//2,−x//3+x//2,−x//5+x//2のように,2項ずつまとめれば

  e=1//1+1//2+1//6+1//10+1//14+・・・

=1//1+Φ1//(4k−2))+・・・

となって,大変よい近似

  19/7,193/71,2721/1001,49171/18089,・・・

を得ることができるというわけです.

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