負の数に拡大した次は,有理数への拡大である.
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[・・・999999]=-1
の両辺を9で割ると
[・・・111111]=-1/9
同様に
[・・・222222]=-2/9
[・・・333333]=-3/9
[・・・444444]=-4/9
[・・・555555]=-5/9
[・・・999999]=-1
の両辺を7で割ると
[・・・142857]=-1/7
3をかけると
[・・・1428571]=-3/7
となることが確認されます.
1+1/2+1/4+1/8+1/16+・・・=1/(1-1/2)=2
が成り立つと同様に,この数の世界では
1+10+100+1000+10000+・・・=1/(1-10)=-1/9
が成り立つというわけです.
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