幾何級数

Σ１／２^k＝１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋・・・＝１

に対して

Σ１／ｋ２^k＝１／１・２＋１／２・４＋１／３・８＋１／４・１６＋・・・

＝ｌｏｇ２

　この無限級数は２進法で表したｌｏｇ２のある特定の桁（たとえば１０００兆桁目）の数字を計算するのに使える公式である．

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　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１＋ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

　一方，

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

ｘ＝１とおくと，もうひとつのよく知られた結果（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

が得られる．

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　　ｌｏｇｘ＝∫(1,x)ｄｔ／ｔ

　　ａｒｃｔａｎｘ＝∫(0,x)ｄｔ／（１＋ｔ^2）

より，有理関数

　　ｔ／（ａｔ＋ｂ），（ｄｔ＋ｅ）／（ａｔ^2＋ｂｔ＋ｃ）

の積分は，ｌｏｇｘないしａｒｃｔａｎｘに帰着される．

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