非可換な四元数と非可換・非結合的な八元数の数体系が存在する．

　ハミルトンは非可換な四元数を発見したが，これは数の可換性を否定したことから，平行線の公理を否定したロバチェフスキーの非ユークリッド幾何学の発見と並び称される．

　その後，グレーブスやケイリーによって八元数も見出されたが，

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されている（１８９８年）．

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【１】三元数は存在しないことの証明（１）

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋ｂ3^2）＝ｃ1^2＋ｃ2^2＋ｃ3^2

において，偶数の２乗は４ｎの形であり，奇数の２乗は

　　（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１＝８ｎ＋１

の形であるから，３つの２乗和はそれがすべて奇数であれば，４ｎ＋１か８ｎ＋３のいずれかの形をとる．

　したがって，８ｎ＋７という形の奇数は決して３つの２乗和にかけない．すなわち，３元数に対する平方和問題は破綻している．　

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【２】三元数は存在しないことの証明（２）

　三元数を

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ

で表す．

　　ｘ＝（ｘ，０，０），ｉ＝（０，１，０），ｊ＝（０，０，１）

　　ｉ^2＝−１＝（−１，０，０），ｊ^2＝−１＝（−１，０，０）

　ここで，

　　ｉｊ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ

とかけたと仮定する．この式に左からｉをかければ

　　ｚｘ−ｙ＋（ｘ＋ｙｚ）ｉ＋（ｚ^2＋１）ｊ＝０

が得られるが，ｚは実数であるので不可能．

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【３】十六元数は存在しないことの証明（フルヴィッツの定理）

　もちろん，三元数は存在しないので，六元数も存在しないが，ケイリー・ディクソンの２重化法

　　Ｃ＝Ｒ＋ｉＲ

　　Ｈ＝Ｃ＋ｅ2Ｃ　　　（複素数の複素化）

を適用して構成される超複素数体系が，八元数

　　Ｏ＝Ｈ＋ｅ7Ｈ　　　（四元数の複素化）

である．

　しかし，このように倍増を重ねて新しい数体系ができるのは，八元数でストップするというのがフルヴィッツの定理である．この証明では単位元をもつ数体系を仮定するとＲ，Ｃ，Ｈ，Ｏに限るということを主張する．

　これはまた，平方和問題

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

はｎ＝１，２，４，８の場合のみ解をもつことを意味している．

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　四元数qに対して、変換f(x)=qxq^(-1)を考えてきたが、とくに|q|=1のときはq^(-1)=q~となり、

　　f(x)=qxq^(-1)=qxq~

となる。

四元数を用いた回転は

f(x)=axa~

kik~=-kik=-jk=-i・・・ｘｙ平面上の180度回転

n=(n1,n2,n3)=n1i+n2j+n3k,n1^2+n2^2+n3^3=1

q=cos(θ/2)+nsin(θ/2)

|q|=cos^2(θ/2)+(n1^2+n2^2+n3^2)sin^2(θ/2)=cos^2(θ/2)+sin^2(θ/2)=1

nの周りにθ回転させる操作はqxq~で与えられる。

[1]xy平面に関する回転：q=cos(θ/2)+ksin(θ/2)

[2]yz平面に関する回転：q=cos(θ/2)+isin(θ/2)

[3]xz平面に関する回転：q=cos(θ/2)+jsin(θ/2)

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オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθ

を四元数の場合に一般化することを考えます。

Φ=(θ^2+φ^2+ψ^2)^1/2とおくと

exp(iθ+jφ+kψ)=cosΦ+(iθ+jφ+kψ)/ΦsinΦ

n=1/Φ・(θ,φ,ψ)としたとき、2Φ回転を表していることが分かります。

四元数では

　　f(x)=qxq^(-1)=qxq~

のようにｑで挟んで回転させるため2Φ回転となるのである。

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