四元数と外積との関係

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｙ＝ｙ0＋ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ＋ｙ3ｋ

　　ｘ~＝ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｙ~＝ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ＋ｙ3ｋ

　　｜ｘ｜^2｜ｙ｜^2＝＜ｘ~，ｙ~＞^2＋｜−ｘ0ｙ~＋ｙ0ｘ~−（ｘ~×ｙ）｜^2

を使って，コーシー・ラグランジュの恒等式を導出することができる．

［ａ］（ｘ0^2＋ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ0^2＋ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ0ｙ0＋ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ0ｙ1−ｘ1ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ2−ｘ2ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ3−ｘ3ｙ0）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

［ｂ］（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

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　コーシー・シュワルツの不等式とは，

［ａ］（ｘ0^2＋ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ0^2＋ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

≧（ｘ0ｙ0＋ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

［ｂ］（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

≧（ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

というものである．

　ところで，高校では，相加平均・相乗平均不等式に関連して，

［１］ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2≧０

［２］ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）・１／２｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝

≧０

を習ったが，［１］はともかく［２］の

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

については，すっかり忘れ去られた方も少なくないと思う．

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［１］ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ

は対称式であるから，基本対称式ａ＋ｂ，ａｂを使って表すことができる．

　２次対称式であるから

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝Ｃ（ａ＋ｂ）^2＋Ｄａｂ

で表せるが，恒等式であるから（ａ，ｂ）＝（１，１），（１，０）を代入してみると

　　０＝４Ｃ＋Ｄ，１＝Ｃ→Ｃ＝１，Ｄ＝−４

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ＋ｂ）^2−４ａｂ

［２］ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

も対称式であるから，基本対称式ａ＋ｂ＋ｃ，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，ａｂｃを使って表すことができる．

　３次対称式であるから

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝Ｄ（ａ＋ｂ＋ｃ）^3＋Ｅ（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＋Ｆａｂｃ

で表せるが，恒等式であるから（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１），（１，１，０），（１，０，０）を代入してみると

　　０＝２７Ｄ＋９Ｅ＋Ｆ，２＝８Ｄ＋２Ｅ，１＝Ｄ→Ｄ＝１，Ｅ＝−３，Ｆ＝０

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^3−３（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ＋ｂ＋ｃ）^2−３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）｝

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

が得られる．

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