【３】ニュートンの恒等式の代数方程式への応用

　前節で述べた定理はニュートンに拠るとされるものであるが，このことから逆に，ｎ次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝Π（ｘ−αi）＝０

が与えられたとき，累乗和

　　ｐ1＝α1＋・・・＋αn

　　ｐ2＝α1^2＋α2^2＋・・・＋αn^2

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn＝α1^n＋α2^n＋・・・＋αn^n

を根とする方程式の係数を導出することができる．したがって，もし係数ａ1，・・・，ａnがすべて有理数（整数）なら，求める方程式の係数もまたみな有理数（整数）となる．

　対称式による４次までの代数方程式の解法はラグランジュに負うものである．ラグランジュの方法は巧妙だが，彼は同様の方法を５次方程式に試みて失敗した．アーベルは５次以上の一般代数方程式がベキ根によっては解けない（５次以上の方程式には，係数の間の四則と累乗根を使って表す根の公式はない）ことを初めて証明したノルウェーの数学者である．

　現代では解の置換群であるガロア群から「５次以上の代数方程式は代数的に解けない」ことが自然に証明される．ラグランジュの方法はガロア理論の先駆をなすものであるが，アーベルは「ニュートンの定理」を援用して方程式論を形成したことになるといえる．これらについてはコラム「代数方程式と群」を参照されたい．

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