■等時曲線(その11)

 S=∫xdy=-∫ydx=1/2・∫(xdy-ydx)

 S=1/2・∫(xdy-ydx)

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい.

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 サイクロイド

  x=θ-sinθ

  y=1-cosθ

の弧とx軸で囲まれる図形の面積は,

  dx=(1-cosθ)dθ

  dy=sinθdθ

 xdy-ydx=(θ-sinθ)sinθdθ-(1-cosθ)^2dθ

=(-2+2θsinθ+2cosθ)dθ

 S=-1/2・∫(0,2π)(xdy-ydx)=3π

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