【３】ベンフォードの法則に従う数列・従わない数列

３のベキ乗３^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

　　３，９，２７，８１，２４３，７２９，２１８７，６５６１，１９６８３，・・・

　　→３，９，２，８，２，７，２，６，１，・・・

となっているのですが，３倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が３０−３３で始まっていなければなりません．それに対して，４−６で始まる数はどれも３倍にすると１で始まる数になります．

　２と３を交互にかけて得られる数列

　　１，２，６，１２，３６，７２，２１６，４３２，１２９６，２５９２，７７７６，１５５５２，・・・

も同じ理由でベンフォードの法則に従います．この数列は，ほぼ

　　ａn+1＝√６ａn

という生成則に従う数列とみることができます．√６倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が３６−４０で始まっていなければなりません．それに対して，４−８で始まる数はどれも√６倍にすると１で始まる数になります．

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また，前２項の和になっているフィボナッチ数列もベンフォードの法則に従います．たとえば，１０００項までの最高位の数もこの法則に従っていることがわかります．

数　　　　　１　　　２　　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

頻度　　３０１　１７７　１７７　９６　８０　６７　５６　５３　４５

この数列は，ほぼ

　　ａn+1＝φａn

という生成則に従う数列とみることができます．φ＝（１＋√５）／２

　φ倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が５５−６１で始まっていなければなりません．それに対して，１−６で始まる数はどれもφ倍にすると１で始まる数になります．

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　フィボナッチ（Fibonacci）数列は，項比が黄金比に近づくという性質がなかに隠されている慨指数関数的増加数列なのですが，黄金比がギリシア文字のφで表されることから，phi-bonacci数列と呼ぶ人さえいます．

ａn+1＝２ａn

という生成則に従う数列は，ベンフォードの法則に従いますが，

　　ａn+1＝２ａn＋１

　　ａn+1＝ａn^2

という生成則に従う数列もベンフォードの法則に従います．

　ところが，

　　ａn+1＝ａn^2＋１

という生成則に従う数列では，初期値によってベンフォードの法則に従わない数列があるそうです．

　たとえば，

　　ａ0＝９．９４９６２３０８９５９３９５９４１２１８３３２１２４１０９３２６・・・

では生成則を何回繰り返しても最初の数は９になるということです．驚きの結果です．このような初期値は無限個存在するのですが，数直線ではあまりにもまだらで，そのcardinalityは０だそうです．

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