■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その5)

【1】デーン・サマービル関係式

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (-1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(-1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

  -1≦k≦n-1

であるが,k=n-1の場合は自明.k=-1の場合はf-1=fn=1とみなせば,オイラーの関係式になる.

 また,このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(-1)^k-j(n-j,n-k)fj-1=Σ(0,n-k)(-1)^n-k-j(n-j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(-1)^n-j(j,k)fj-1

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 単体的多面体に対して

  fn-1=fn-1

  2fn-2=nfn-1

  2fn-4=(n-2)fn-3-(n-1)(n-2)/2fn-2+n(n-1)(n-2)/6fn-3

  2fn-6=(n-4)fn-5-(n-3)(n-4)/2fn-4+(n-2)(n-3)(n-4)/6fn-3-(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/24fn-2+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120fn-1

2fn-2k-2=Σ(0,2k)(-1)^j(n-j,2k+1-j)fn-j-1

が成り立つ.

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