そろそろｄ→1/2証明しておきたい。

x=Σancosnθ

y=Σansinnθ

と有限フーリエ級数で表されるので、n→∞のとき、パーセバルの公式を使えば極限値を求めることができると思われる。

したがって、{an}を求めなければならない。

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n次元正単体のN+1頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x(n+1)=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x6=X(x4-x5),x4-x7=X(x5-x6)・・・対角線の長さXとなるための条件

X=1+2cos(180-180(7-2)/7)=1+2cos(360/7)

一般に X=1+2cos(360/(N+1))・・・この式では辺の長さを1、2番目に長い対角線の長さをXとおいているが、

対角線の長さは別の形でも表現できる。

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そのほうが簡単かもしれない。

ｎ番目の対角線の長さをdnで表す。N+1角形の場合、

円周角はθ=180/(N+1）

1=(dn)^2+(dn-1)^2-2dn(dn-1)cosθ

かえって面倒そうだ

1本目の対角線は2sin(90/(N+1）)で与えられる。

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正方形の場合は式が異なり、X=2cos(45)=√2

正五角形の場合はX=1+2cos(360/5)=1+(√5-1)/2=τ

正六角形の場合はX=1+2cos(360/6)=1+1=2

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例えば、面P1P2P3P4P5はx1+x2+x3+x4+x5=1,x6=0,x7=0上にあり、

x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3=X(x4-x5),x4=X(x5)

との共有点は

x4=X(x5),x3=X(X-1)x5={X^2-X}x5,x2=X{X^2-X-X}x5+x5={X^3-2X^2+1}x5,

x1=X{X^3-2X^2+1-X^2+X}x5+Xx5={X^4-3X^3+X^2+2X}x5をx1+x2+x3+x4+x5=1に代入すると

(X^4-2X^3+2X+2)x5=1

まずこの多項式を表す方法が分からない・・・

F0=0

F1=1

F2=X

Fn=X(Fn-1-Fn-2)+Fn-3

F3=X(F2-F1)+F0=X(X-1)

F4=X(F3-F2)+F1=X{X(X-1)-X})+1=X^2(X-1)-X^2+1

4項漸化式であるから3次方程式を解く必要がある。

a^3-Xa^2+Xa-1＝0

(a-1)(a^2-(x-1)a+1)=0

a=1/2・{(x-1)+-{(x-1)^2-4}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-{4cos(360/(N+1))^2-4}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-{-4sin(360/(N+1))^2}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-2isin(360/(N+1))}

a={cos(360/(N+1))+-isin(360/(N+1))}・・・複素数となった・・・ωは１の原始ｎ+1乗根で、ω、ω^-1とする。

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α=1

β=ω

γ=ω^-1

α+β+γ=1+ω+ω^-1=X

αβ+βγ+γα=X

αβγ=1

Un+1=Tn+1-αTn

U0=T1-αT0=1

U1=T2-αT1=X-1=2cos(360/(N+1))=ω+ω^-1

U2=T3-αT2=X(X-1)-X=X^2-2X=(X-1)^2-1=ω^2+ω^-2+1

Vn=Un+1-βUn

V0=U1-βU0=ω+ω^-1-ω=ω^-1

V1=U2-βU1=ω^2+ω^-2+1-ω^2-1=ω^-2

Vn+1=γVn

Vn=ω^-n-1

Wn=Un+1-γUn

W0=U1-γU0=ω+ω^-1-ω^-1=ω

W1=U2-γU1=ω^2+ω^-2+1-ω^-2-1=ω^2

Wn+1=βWn

Wn=ω^n+1

Un+1-βUn=ω^-n-1

Un+1-γUn=ω^n+1

Un=(ω^n+1-ω^-n-1)/(ω-ω^-1)

Tn+1-αTn=(ω^n+1-ω^-n-1)/(ω-ω^-1)

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Tn=-{(β-γ)α^n+1+(γ-α)β^n+1+(α-β)γ^n+1}/(α-β)(β-γ)(γ-α)

α=1

β=ω

γ=ω^-1

Sn=-(α-β)(β-γ)(γ-α)Tn

S0=(β-γ)α+(γ-α)β+(α-β)γ=0→T0=0

S1=(β-γ)α^2+(γ-α)β^2+(α-β)γ^2=-(α-β)(β-γ)(γ-α)→T1=1

S2=(β-γ)α^3+(γ-α)β^3+(α-β)γ^3=-(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)→T2=X

S3=(β-γ)α^4+(γ-α)β^4+(α-β)γ^4=-(α-β)(β-γ)(γ-α){(α+β+γ)^2-(αβ+βγ+γα)}→T3=X^2-X

S4=(β-γ)α^5+(γ-α)β^5+(α-β)γ^5

=-(α-β)(β-γ)(γ-α){α^3+β^3+γ^3+(α^2β+α^2γ+β^2γ+β^2α+γ^2α+γ^2β)+αβγ}

α^3+β^3+γ^3=(α+β+γ){(α+β+γ)^2-3(αβ+βγ+γα)}+3αβγ＝X{X^2-3X}+3

α^2β+α^2γ+β^2γ+β^2α+γ^2α+γ^2β={(α+β+γ)^3-(α^3+β^3+γ^3)-6αβγ}/3

={X^3-X^3+3X^2-3-6}/3=X^2-3

T4=X{X^2-3X}+3+X^2-3+1=X^3-2X^2+1

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フーリエ級数では，三角関数のもつ直交基底の性質：Σｃｏｓ（ｋｘ）＝０，Σｓｉｎ（ｋｘ）＝０，Σｃｏｓ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）＝０，Σｃｏｓ^2（ｋｘ）＝ｎ／２，Σｓｉｎ（ｉｘ）ｓｉｎ（ｊｘ）＝０，Σｓｉｎ^2（ｋｘ）＝ｎ／２，Σｓｉｎ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）＝０から非対角要素はすべて０になります。

x=Σancosnθ

y=Σansinnθ

x^2+y^2=(Σancosnθ)^2+(Σansinnθ)^2=n/2・Σ(an)^2

と思われます。

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