■フルヴィッツのフーリエ級数論(その3)

【2】フルヴィッツによる証明

「周長Lの等しい平面領域で,最大の面積Sをもつものは円である.」

これを別の表現にしたものが,等周不等式

 「L^2≧4πS   等号は円に対してのみ成り立つ.」

です.

(証明)

閉曲線(X(s),Y(s))  (0≦s≦L)が囲む領域の面積は

  S=1/2∫(0,L)(XdY/ds−YdX/ds)ds

  L=∫(0,L){(dX/ds)^2+(dY/ds)^2}^1/2ds

周期Lの任意の関数は

  X(s)=a0/2+Σakcos(2πks/L)+Σbksin(2πks/L)

  Y(s)=c0/2+Σckcos(2πks/L)+Σdksin(2πks/L)

と表される.これらをS=・・・,L=・・・に代入して整理すると

  L=Σ2π^2k^2/L・(ak^2+bk^2+ck^2+dk^2)

  S=Σπk・(akdk−bkck)

  L^2/4π−S

=Σπk^2/2・(ak^2+bk^2+ck^2+dk^2)−Σπk(akdk−bkck)

≧Σπk/2・(ak^2+bk^2+ck^2+dk^2)−Σπk・(akdk−bkck)

=Σπk/2・{(ak−dk)^2+(bk+ck)^2}≧0

 等号はk=1についてak=dk,bk=-ck

k≧2についてak=bk=ck=dk=0

X(s)=a0/2+a1cos(2πs/L)+b1sin(2πs/L)

 Y(s)=c0/2-b1cos(2πk/L)+a1sin(2s/L)

これは(a0,c0)を中心とする円の方程式である.すなわち円のときに限る.

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