■細矢インデックス(その6)

  [参]細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

では,フィボナッチ数fn,リュカ数Ln,ペル数pn,ペル・リュカ数Qnを

n :0,1,2,3,4,5,6,7,8

fn :1,1,2,3,5,8,13,21,34

Ln :2,1,3,4,7,11,18,29,47

pn :1,2,5,12,29,70,169,408,985

Qn :2,2,6,14,34,82,198,478,1154

で定義している.Fn=fn-1で定義する方が多いが,この方がはるかにすっきりするらしい.

 前2者は同じ漸化式:gn=gn-1+gn-2,後2者は同じ漸化式:gn=2gn-1+gn-2をもち,それぞれ初期値が異なっている,

===================================

【1】畳の敷き方数

 2×nの長方形の部屋に1×2の畳を敷く仕方はfn+1通りある.不飽和共役炭化水素(エチレン,ベンゼン,ナフタレン,フェナントレン,・・・)のケクレ構造もfn+1通りある.

===================================

【2】行列表現

  [fn ]=[1,1][fn-1]=[1,1]^n[1]

  [fn-1] [1,0][fn-2] [1,0] [0]

  [Ln ]=[1,1][Ln-1]=[1,1]^n[2]

  [Ln-1] [1,0][Ln-2] [1,0] [−1]

  [pn ]=[2,1][pn-1]=[2,1]^n[1]

  [pn-1] [1,0][pn-2] [1,0] [0]

  [Qn ]=[2,1][Qn-1]=[2,1]^n[2]

  [Qn-1] [1,0][Qn-2] [1,0] [−2]

===================================

【3】固有値

 前2者では

  |1−x,1|=x^2−x−1=0

  |1, −x|

の2根

  α=(1+√5)/2=τ,β=(1−√5)/2=−1/τ

  τは正五角形と密接な関係にある.

 後2者では

  |2−x,1|=x^2−2x−1=0

  |1, −x|

の2根

  γ=1+√2=θ,δ=1−√2=−1/θ

  θは正八角形と密接な関係にある.

===================================

【4】一般式

  fn=(α^n+1−β^n+1)/√5

  Ln=α^n+β^n

  pn=(γ^n+1−δ^n+1)/2√2

  Qn=γ^n+δ^n

===================================

【5】項比の極限値

  fn+1/fn,Ln+1/Ln→τ

  pn+1/pn,Qn+1/Qn→θ

===================================

【6】チェビシェフ多項式との関係

 ところで,ド・モアブルの定理:

  (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

の左辺を2項展開して,両辺の実部,虚部を比較すると

  cosnθ=(cosθ)^n−nC2(cosθ)^n-2(sinθ)^2+・・・=(cosθのn次多項式)=Tn(cosθ)

  sinnθ=nC1(cosθ)^n-1sinθ−nC3(cosθ)^n-3(sinθ)^3+・・・=sinθ×(cosθのn−1次多項式)=sinθ×Un(cosθ)

を得る.

 また,

  cosnθ=cosθcos(n−1)−sinθsin(n−1)θ

  sinnθ=sinθcos(n−1)+cosθsin(n−1)θ

より,漸化式

  Tn(cosθ)=cosθTn-1(cosθ)−(sinθ)^2Un-1(cosθ)

  Un(cosθ)=Tn-1(cosθ)+cosθUn-1(cosθ)

  Tn(cosθ)=2cosθTn-1(cosθ)−Tn-2(cosθ)

  Un(cosθ)=2cosθUn-1(cosθ)−Un-2(cosθ)

が成り立つ.

 cosθ=xの多項式で表すと,チェビシュフ多項式は

  Tn(x)=2xTn-1(x)−Tn-2(x)

  Un(x)=2xUn-1(x)−Un-2(x)

となる.

 T~n,U~nは第1種チェビシェフ多項式Tn,第2種チェビシェフ多項式Unの負の符号を正に変えたものである.以下,チェビシェフ多項式を示しておく.

T0(x)=1         T~0(x)=1        

T1(x)=x         T~1(x)=x        

T2(x)=2x^2−1     T~2(x)=2x^2+1    

T3(x)=4x^3−3x    T~3(x)=4x^3+3x   

T4(x)=8x^4−8x^2+1 T~4(x)=8x^4+8x^2+1

U0(x)=1         U~0(x)=1       

U1(x)=2x         U~1(x)=2x       

U2(x)=4x^2−1     U~2(x)=4x^2+1   

U3(x)=8x^3−4x    U~3(x)=8x^3+4x  

U4(x)=16x^4−12x^2+1 U~4(x)=16x^4+12x^2+1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  Cn(x)=2Tn(x/2)   (第1種変形チェビシェフ多項式)

  Sn(x)=Un(x/2)    (第2種変形チェビシェフ多項式)

と定義する.

C0(x)=2         C~0(x)=1        

C1(x)=x         C~1(x)=x        

C2(x)=x^2−2     C~2(x)=x^2+2     

C3(x)=x^3−3x    C~3(x)=x^3+3x    

C4(x)=x^4−4x^2+2 C~4(x)=x^4+4x^2+2

S0(x)=1         S~0(x)=1       

S1(x)=x         S~1(x)=x        

S2(x)=x^2−1     S~2(x)=x^2+1    

S3(x)=x^3−2x    S~3(x)=x^3+2x   

S4(x)=x^4−3x^2+1 S~4(x)=x^4+3x^2+1

 すると

  fn=S~n(1)

  Ln=C~n(1)

  pn=S~n(2)

  Qn=C~n(2)

を示すことができる.

===================================