ケイリーやシルベスターの研究では、各頂点の次数が高々4のn頂点の木の個数となると、次数に関する制限は取り扱うのが容易ではなかったり、

化学的話題と代数的話題の関係を確立させようとする話題は、創始者が期待していたほどには役に立たないことが明らかになったり、

であったが、細矢インデックスは次数4の制限なしに、分野間の橋渡しに役立つことが明らかになった。

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私が細矢インデックスに出会ったのは、細矢先生から頂いたペル方程式に関する論文においてであった。一見無関係に思える話題が取り上げられていて、そのときは代数と幾何をまたにかけて活躍することは想像することはできなかった。

2012年、細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

が刊行されて、やっと全貌を窺い知ることができた。最近、改訂版が出版されているが、まだ購読はしていない。

2021年11月8-10日に、京都大学解析研で開催された準結晶に関する研究会に参加した際にも、細矢インデックスが話題に上った。

これを機会に同書で再勉強することにした。

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フィボナッチ数もリュカ数も

an=an-1+an-2

という共通の漸化式をもっている。また、ペル数、ペル・リュカ数では漸化式

an=2an-1+an-2

をもっている。

一般項はそれぞれ、

fn=(α^n+1-β^n+1)/√5

Ln=(α^n+β^n）

pn=(γ^n+1-δ^n+1)/2√2

Qn=(γ^n+δ^n）

一言でいうと分子（グラフ）のトポロジカル・インデックスがこれらの数列や母関数で表されるというものである。

少しずつ時間をかけて紹介していきたい。

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