■完全数の仲間・親和数(その7)

[1]220の約数の和は

  1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

[2]284の約数の和は

  1+2+4+71+142=220

 このような2数を友愛数(親和数)をいう.850年,イブン・クッラは友愛数を作り出す公式を示した.

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 p=3・2^n-1−1

 q=3・2^n−1

 r=9・2^2n-1−1,n>1

 p,q,rが素数であれば,2^npqと2^nrは友愛数となる.たとえば,

  220=4・5・11

  284=4・71

の場合はn=2,p=5,q=11,r=71.しかし,この公式はすべての友愛数を作り出せるわけではない.

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 これまでに知られている友愛数は,両方とも偶数であるか,あるいは,両方とも奇数であるかのどちらかである.イブン・クッラの公式は前者にあたる.偶数と奇数の友愛数のペアが存在するかどうかはわかっていない.

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