■三角形の心(その68)

【3】ヘロンの公式とナポレオンの定理

 ヘロンの公式より、三角形の面積をSとすると

  (4S)^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4

ナポレオンの定理では

外三角形の面積=(√3)/24・(a^2+b^2+c^2)+S/2

24・外三角形の面積=(√3)・(a^2+b^2+c^2)+12S

(24・外三角形の面積)^2=3(a^2+b^2+c^2)^2+24√3・S(a^2+b^2+c^2)+144S^2

(24・外三角形の面積)^2=3(a^2+b^2+c^2)^2+24√3・S(a^2+b^2+c^2)+9(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)

=3(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+a^4+b^4+c^4)+9(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)+24√3・S(a^2+b^2+c^2)

=24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(a^4+b^4+c^4)+24√3・S(a^2+b^2+c^2)

どうしてもこれ以上簡単な形にはならない。

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