■三角形の心(その54)

 a=BC,b=CA,c=ABとする.

  AP=(λc−b)/(1+λ)

  BQ=(λa−c)/(1+λ)

  CR=(λb−a)/(1+λ)

  AN=AP・(1+λ)/(1+λ+λ^2)=(λc−b)/(1+λ+λ^2)

  BL=BQ・(1+λ)/(1+λ+λ^2)=(λa−c)/(1+λ+λ^2)

  CM=CR・(1+λ)/(1+λ+λ^2)=(λb−a)/(1+λ+λ^2)

  LM=LB+a+CM=(λ(b−a)−a+c)/(1+λ+λ^2)+a=(λ^2a+λb+c)/(1+λ+λ^2)

  MN=MC+b+AN=(λ(c−b)−b+a)/(1+λ+λ^2)+b=(λ^2b+λc+a)/(1+λ+λ^2)

  NL=NA+c+BL=(λ(a−c)−c+b)/(1+λ+λ^2)+c=(λ^2c+λa+b)/(1+λ+λ^2)

 これらのノルムがa,b,cに比例する.同じ向きに相似なとき,それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

  LM:MN:NL=a:b:c

 裏返しに相似なとき,

  LM:MN:NL=a:c:b

 a+b+c=0より,これらを解くと相似条件式は

  a^2+λb^2−(λ+1)c^2=0

になる.もちろんa=b=cはこれを満足するが,それ以外にも多数の解がある.そしてそれが必要十分条件であり,実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる.

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