重心座標を用いないで，ベクトルで解く場合，縮小三角形がもとの三角形と相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

　　（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）

であることを示すのが結構大変である．

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【１】問題

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＤ／ＤＢ＝ＡＥ／ＥＣ＝ＳＦ／ＦＡ

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＥＰ／ＰＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【２】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＥ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＰ＝１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＱＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＰＱ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ−１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＥＰ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＥＰ／ＰＢ＝（１＋λ）ＢＥ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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【３】発展

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが，一般の三角形の場合の定理を使ってみたい．

　一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

　すなわち，もとの正三角形の１辺の長さを１とすると，縮小三角形の１辺の長さＰＱは

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

というわけである．

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【４】さらなる発展

　与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

　すなわち，もとの正三角形の１辺の長さを１とすると，縮小三角形の１辺の長さは

　　√（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）

というわけである．

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