■三角形の心(その41)

【1】問題

 三角形ABCの各辺を1:λの比に順次内分した点D,E,Fとし,AD,BE,CFの2本ずつの交点が作る三角形PQRを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする.正三角形の縮小三角形は正三角形である.

  λ=CD/DB=AE/EC=SF/FA

[Q]正三角形の縮小三角形は正三角形である.AD,BE,CFの2本ずつの交点が作るP,Q,Rの内分比を1:κとすると

  κ=EP/PB=λ^2/(1+λ)

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【2】証明

 相似比を使って解ける.

  BE^2=1^2+1/(1+λ)^2−2・1・1/(1+λ)cos60°=1−1/(1+λ)+1/(1+λ)^2

 △BCMと△BPDは相似であるから,

  BP=1/(1+λ)/BE

  QE=1/(1+λ)^2/BE

  PQ=BE−1/(1+λ)/BE−1/(1+λ)^2/BE

  EP=BE−1/(1+λ)/BE

  EP/PB=(1+λ)BE^2−1=λ^2/(1+λ)

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【3】発展

 正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが,一般の三角形の場合の定理を使ってみたい.

 一般に与えられた三角形の各辺をλ:1,μ:1,ν:1に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は,もとの三角形の面積の

  M=(λμν−1)^2/(λμ+λ+1)(μν+μ+1)(νλ+ν+1)

倍に等しくなる.

 λ=μ=νの場合,

  M=(λ^3−1)^2/(λ^2+λ+1)^3=(λ−1)^3/(λ^3−1)

倍に等しくなる.λ=μ=ν=2(k=1/3)のとき1/7.

 ΔPQRがΔABCと相似とすると,面積の関係から長さの相似比は   (λ−1)/√(λ^2+λ+1)

である.

 もとの正三角形の1辺の長さを1とすると,縮小三角形の1辺の長さPQは

  (λ−1)/√(λ^2+λ+1)

というわけである.

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【4】さらなる発展

 与えられた三角形の各辺をλ:1,μ:1,ν:1に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は,もとの三角形の面積の

  M=(λμν+1)/(λ+1)(μ+1)(ν+1)

倍に等しくなる.

(証)1/(λ+1)・μ/(μ+1)+1/(μ+1)・ν/(ν+1)+1/(ν+1)・λ/(λ+1)=1−(λμν+1)/(λ+1)(μ+1)(ν+1)

 λ=μ=νの場合,

  M=(λ^3+1)/(λ+1)^3

倍に等しくなる.λ=μ=ν=2(k=1/3)のとき1/3.

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