【２】デュドニー分割の計量

　点Ｎから下ろした垂線の足を点Ｐ，点Ｇから下ろした垂線の足を点Ｑとすると，正三角形は３つの四角形と１つの直角三角形に分割される．３つの四角形もそれぞれ直角をもつ．

　　ＢＭ＝ＭＣ＝ＣＮ＝ＮＡ＝１

であるが，正方形を構成するためにはさらに

　　ＰＮ＝ＱＧ

　　ＰＭ＋ＱＭ＝ＦＭ（＝２ＰＮ＝２ＱＧ）

という関係が成り立てばよいのだが，この作図法では当該の十分条件が満たされているのである．そのことを示すために，デュドニー分割の計量を与えておこう．

　Ｆ（−ｔ／２，−ｔ３^1/2／２＋３^1/2）＝（−．２５４５０８，１．２９１２３）

よりＦＭの方程式は

　　（ｔ３^1/2／２−３^1/2）ｘ−（ｔ／２）ｙ＝０

ここで，ｍ＝（ｔ３^1/2／２−３^1/2）／（ｔ／２）＝−５．０７３４５とおくと

　　ｍｘ−ｙ＝０

また，

　　Ｇ（−（ｔ＋１）／２，−（ｔ＋１）３^1/2／２＋３^1/2）＝（−ｔ／２−１／２，−ｍｔ／２−３^1/2／２）＝（−．７５４５０８，．４２５２０５）

　　ＦＭ^2＝（ｔ／２）^2＋（ｔ３^1/2／２−３^1/2）^2＝（ｔ／２）^2（１＋ｍ^2）：ＦＭ＝１．３１６０７

　　ＰＮ^2＝（ｍ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）：ＰＮ＝．６５８０３７

　　ＱＧ^2＝（ｍｔ／２＋１／２−ｍｔ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）

　　　　　＝（ｍ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）＝ＰＮ^2

　　Ｐのｘ座標＝（１＋ｍ３^1/2）／２（１＋ｍ^2）＝−．１４５６１５

　　Ｐのｙ座標＝ｍ×（Ｐのｘ座標）

　　Ｑのｘ座標＝（１＋ｔ＋ｍ^2ｔ＋ｍ３^1/2）／２（１＋ｍ^2）＝−．１０８８９２

　　Ｑのｙ座標＝ｍ×（Ｑのｘ座標）

　　ＰＭ^2＝（１＋ｍ３^1/2）^2／４（１＋ｍ^2）：ＰＭ＝．７５２９８６

　　ＱＭ^2＝（１＋ｔ＋ｍ^2ｔ＋ｍ３^1/2）^2／４（１＋ｍ^2）：ＱＭ＝．５６３０８８

　　ＰＦ＝ＱＭ，ＰＭ＝ＱＦ

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