正三角形が４つの断片に切り分けられていて，ハトメを中心として回転させると正三角形が正方形に変身するというパズルをご存知でしょうか？

　正三角形を６ピースに切って並び替えると正方形に作り替えることができるパズルもあるのですが，その切断はあまりエレガントではありません．切り方を工夫してピースの個数を減らしたい・・・これは大変な難問ですが，デュドニーはわずか４ピースにして１回のハトメ返しで正三角形から正方形に移すことに成功しました．

　ハトメのうち２つは正三角形の２辺の中点にあり，もう一つの辺は０．９８２：２：１．０１８に内分され，その一方にハトメがついています．このパズルには平面充填形（タイル張り）の理論が潜んでいることに気づけばその切り分け方を見いだすことができます．

　今回のコラムでは正三角形を４つの多角形（３つの四角形と１つの直角三角形）に分割する際，辺を０．９８２：２：１．０１８に内分する作図方法を紹介します．

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【１】正三角形の分割

　デュドニーのカンタベリー・パズルでは，正三角形と正方形の面積は等しい．１辺の長さが２の正三角形の面積は３^1/2だから，同じ面積をもつ正方形の１辺の長さは３^1/4でなければならない．

　１回で正三角形から正方形に移すことは簡単ではない．しかし，中線で２つの直角三角形に分割して並べ直せば１回で１×√３の長方形を作成することができる．

　そこで，中線ではなくその位置をずらすことを考え，正三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭ，辺ＣＡの中点をＮとし，辺ＡＢ上に内分点Ｆ，Ｇをとり，線分ＦＭに点Ｎと点Ｇから垂線を下ろして正三角形を分割することにする．

　　Ａ（０，３^1/2），Ｂ（−１，０），Ｃ（１，０）

　　Ｍ（０，０），Ｎ（１／２，３^1/2／２）

　正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されるから，正三角形の２辺の中点Ｍ，Ｎをとるのは正三角形の周を正方形の内部に移し，３つの頂点を１点に会させるためである．

　また，線分ＦＭに点Ｎと点Ｇから垂線を下ろすのは４つの角をすべて直角にするためである．また，このとき，辺ＡＢ上の２点Ｆ，Ｇに対してＦＧ＝１となることが必要条件になる．

　ＢＭ＝ＭＣ＝ＣＮ＝ＮＡ＝１であるが，中線上にもＬＭ＝１となるような点をとり，その点を点Ｌとする．次に，ＬＭ＝１を１辺とする正三角形を辺ＡＢ側に描き，その頂点の位置を点Ｋとする．

　　Ｋ（−３^1/2／２，１／２）

　最後に，辺ＡＢ上に

　　ＬＭ＝ＫＦ＝ＦＧ＝１

となる点Ｆと点Ｇを求める．このとき，ＭＮＦＧは平行四辺形となっている．

　ＡＦ＝ｔとおくと

　　Ｆ（−ｔ／２，−ｔ３^1/2／２＋３^1/2）

　　Ｇ（−（ｔ＋１）／２，−（ｔ＋１）３^1/2／２＋３^1/2）

と表されるから，ＫＦ＝１より

　　ｔ^2−３ｔ＋３−３^1/2＝０

　　ｔ＝（３−（４・３^1/2−３）^1/2）／２＝．５０９０１５

　　ＡＦ：ＦＧ：ＧＢ＝ｔ：１：（１−ｔ）

　＝１．０１８：２：０．９８２

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