■整数三角形(その55)

 1辺の長さがdの正三角形の中に点Pがあり,3頂点との距離はそれぞれa,b,cになっている.このとき,

  3(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

が成り立つ.

[Q]1辺の長さdの正三角形がある.その中にある1点をとったら,3頂点からそれぞれa=57cm,b=65cm,c=73cmの距離にあった.1辺の長さdを求めよ.

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 a,b,cは等差数列になっている.

  a=b−e,b,c=b+e

  a^2=(b−e)^2,a^4=(b−e)^4

  c^2=(b+e)^2,c^4=(b+e)^4

  a^2+b^2+c^2=3b^2+2e^2

  a^4+b^4+c^4=3b^4+12b^2e^2+2e^4

  3(3b^4+12b^2e^2+2e^4+d^4)=(3b^2+2e^2+d^2)^2=d^4+2(3b^2+2e^2)d^2+(3b^2+2e^2)^2

  d^4−(3b^2+2e^2)d^2+12b^2e^2+e^2=0

  D=(3b^2+2e^2)^2−4(12b^2e^2+e^2)=9b^4−36b^2e^2=9b^2(b^2−4e^2)

 計算しやすいようにするためには

  b^2−4e^2=f^2,b^2=(2e)^2+f^2

 そのため,2e=6,f=8,b=10

  b=10,e=3→a=7,b=10,c=13

が選ばれているが,2e=4,f=3,b=5とすれば,

  b=5,e=2→a=3,b=5,c=7

2e=12,f=5,b=13とすれば,

  b=13,e=6→a=7,b=13,c=19

でもよいことになる.

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 2e=16,b=65,f=63→a=57,b=63,c=71

 D^1/2=3bf=3・65・63=12285

 d=112

となって,1辺の長さ112の正三角形が3つの整数三角形(57,65,112),(57,73,112),(65,73,112)に分解されたことになる.

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