したがって，（ａ，ｂ，ｃ）の場合

→（ａ＋ｂ，ｂ，ｃ），（ａ，ａ＋ｂ，ｃ）

になる．

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　０＜ｎ＜ｍなる互いに素な整数ｍ，ｎにより，

　　｛ａ，ｂ｝＝｛ｍ^2−ｎ^2，２ｍｎ＋ｎ^2｝

　　ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ｓ＝ｍ^2＋２ｍｎ

　　ｓ^2−ｓａ＋ａ^2＝ｓ^2−ｓｂ＋ｂ^2＝ｃ^2

ｓ＝ａ＋ｂ＝ｍ^2＋２ｍｎ

より，

［１］ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ａ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ｂ＝ｍ^2−ｎ^2

　　ａ^2−ａｂ＋ｂ^2＝ｍ^4＋４ｍ^3ｎ＋４ｍ^2ｎ^2−ｍ^4＋ｍ^2ｎ^2−２ｍ^3ｎ＋２ｍｎ^3＋ｍ^4−２ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4

＝ｍ^4＋２ｍ^3ｎ＋３ｍ^2ｎ^2＋２ｍｎ^3＋ｎ^4

＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）^2＝ｃ^2

［２］ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ｂ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ａ＝２ｍｎ＋ｎ^2

　　ａ^2−ａｂ＋ｂ^2＝ｍ^4＋４ｍ^3ｎ＋４ｍ^2ｎ^2−２ｍ^3ｎ−ｍ^2ｎ^2−４ｍ^2ｎ^2−２ｍｎ^3＋４ｍ^2ｎ^2＋４ｍｎ^3＋ｎ^4

＝ｍ^4＋２ｍ^3ｎ＋３ｍ^2ｎ^2＋２ｍｎ^3＋ｎ^4

＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）^2＝ｃ^2

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［まとめ］ａ^2−ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2一般解は，

ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ａ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ｂ＝ｍ^2−ｎ^2

または

ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ｂ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ａ＝２ｍｎ＋ｎ^2

の形になる．

　一方，ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2の一般解は

ａ＝（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

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