フィボナッチの等式は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています．たとえば，

　　５０＝５・１０

　　５＝１^2＋２^2，１０＝１^2＋３^2

より，

　　５０＝（１・１＋２・３）^2＋（１・３−２・１）^2＝７^2＋１^2

　　５０＝（１・１−２・３）^2＋（１・３＋２・１）^2＝５^2＋５^2

　　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

　　ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります．

　　１０＝２・５

　　２＝１^2＋１^2，５＝１^2＋２^2

　　１０＝（１・１＋１・２）^2＋（１・２−１・１）^2＝３^2＋１^2

　　１０＝（１・１−１・２）^2＋（１・２＋１・１）^2＝１^2＋３^2

　２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることが意味をもつのかどうかわかりません．ｂ＝６５＝４ｎ＋１ですが，それよりも

　　ｂ＝２^6＋１，ｆ＝２^6−１

であることが効いているのだと思われます．まず，これをもとにして所与の問題のパラメータ解を求める方法を考えてみます．

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　　ｄ^2＝｛（３ｂ^2＋２ｅ^2）±３ｂｆ｝／２

　　Ｄ^1/2＝３ｂｆ＝３（２^6＋１）（２^6−１）＝３（２^12−１）

　　ｂ^2−４ｅ^2＝ｆ^2，ｂ^2＝（２ｅ）^2＋ｆ^2

２ｅ^2＝（ｂ^2−ｆ^2）／２＝２・２^6

　　３ｂ^2＋２ｅ^2＝３（２^6＋１）^2＋２・２^6＝３・２^12＋８・２^6＋３　　２ｄ^2＝６・２^12＋８・２^6＝２^6（６・２^6＋８）＝２^6・３９２＝２^6・２^3・７^2　

　　ｄ^2＝２^4・７・・・どうも偶然の一致らしい．

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