［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝３ｃｍ，ｂ＝５ｃｍ，ｃ＝３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

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　ａ，ｂ，ｃは等差数列になっている．

　　ａ＝ｂ−ｅ，ｂ，ｃ＝ｂ＋ｅ

　　ａ^2＝（ｂ−ｅ）^2，ａ^4＝（ｂ−ｅ）^4

　　ｃ^2＝（ｂ＋ｅ）^2，ｃ^4＝（ｂ＋ｅ）^4

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３ｂ^2＋２ｅ^2

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4

　　３（３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4＋ｄ^4）＝（３ｂ^2＋２ｅ^2＋ｄ^2）^2＝ｄ^4＋２（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2

　　ｄ^4−（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2＝０

　　Ｄ＝（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2−４（１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2）＝９ｂ^4−３６ｂ^2ｅ^2＝９ｂ^2（ｂ^2−４ｅ^2）

　計算しやすいようにするためには

　　ｂ^2−４ｅ^2＝ｆ^2，ｂ^2＝（２ｅ）^2＋ｆ^2

　　２ｅ＝４，ｆ＝３，ｂ＝５とすれば，

　　ｂ＝５，ｅ＝２→ａ＝３，ｂ＝５，ｃ＝７

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　　ｄ＝８

となって，この問題は

［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形ＡＢＣがある．その中に１点Ｐをとるのではなく辺ＢＣ上に点Ｐをとったら，３頂点からそれぞれＡＰ＝ａ＝７ｃｍ，ＢＰ＝ｂ＝３ｃｍ，ＣＰ＝ｃ＝５ｃｍの距離にあった．

　１辺の長さｄは８ｃｍであることがすぐわかるから，これでは問題にならない．

　しかし，

［Ｑ］ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数とする．１辺の長さｄの正三角形ＡＢＣがある．その中に１点Ｐをとるのではなく辺ＢＣ上に点Ｐをとったら，３頂点からそれぞれＡＰ＝ａ，ＢＰ＝ｂ，ＣＰ＝ｃは整数距離にあった．ａ，ｂ，ｃ，ｄを求めよ．

ではどうだろうか？

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