■整数三角形(その16)

ピタゴラス三角形では、a=2pq,b=q^2−p^2,c=p^2+q^2,a^2+b^2=c^2

 ここで,|a−b|=1とします.このとき,pをq,qをp+2qで置き換えて得られる三角形も斜辺を除く2辺の長さの差が1のピタゴラス三角形になっています.

(証)条件より

  q^2−p^2−2pq=±1

  a’=2q(p+2q)=2pq+4q^2,

  b’=(p+2q)^2−q^2=p^2+4pq+3q^2

  c’=q^2+(p+2q)^2=p^2+4pq+5q^2

  a’−b’=−2pq+q^2−p^2=±1

  a’^2+b’^2=(2pq+4q^2)^2+(c’−2q^2)^2

=4q^2(p+2q)^2+c’^2−4q^2c’+4q^4

=4q^2{(p+2q)^2+q^2−p^2−4pq−5q^2}+c’^2

=c’^2

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(p,q)=(1,2)→(2,5)→(5,12)→(12,29)→(29,70)→(70,169)→(169,408)→・・・

 q/p比は√2の最良近似になっている.

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