ラングレーの問題『四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＡＢＤ＝２０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝６０°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５０°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝３０°＝ｄのとき，∠ＡＤＢ＝ｅの大きさを求めよ．』

　この問題はラングレーが自ら創刊した雑誌「Mathematical Gazett」に提出したのが最初です（１９２２年，ただし出題形式は多少異なる）．４点ＡＢＣＤは同一円周上にはないためｅ＝３０°は技巧的な補助線を発見しない限り求めることができないことから，初等幾何の難問として多くのファンに愛されて（？）います．

　この記事の読者であればおそらく誰でも一度は取り組み，誰もが一度は悩んだことがある問題と思われます．私は２通りの補助線の引き方を知っているのですが，正三角形や二等辺三角形，凧型などが唐突に出てくる証明に驚かされたことをいまでも鮮明に憶えています．

　答えは∠ＡＤＢ＝３０°ですが，種明かしをすれば，この問題は頂角が２０°の二等辺三角形と関係していて，したがって，正１８角形の対角線の交点と関係しています．正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけです（頂角２０°の二等辺三角形を４個の二等辺三角形に分割する方法は１１世紀のアラブの学者によって発見されていて，半径１の円に内接する１辺の長さｘは３次方程式ｘ^3＋１＝３ｘの解として求められます）．

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　ラングレーの問題では，補除線をうまく引けるかどうかが問題解法のポイントになってきますが，

　　［参］清宮俊雄「幾何学」科学新興新社

にはすべて整数度の角をもつ整角四角形の難問がいくつか示されていることから，ラングレーの問題は孤立した問題ではないと考えられるのですが，実際，パラメータを変化させることによって連続的に図形を変形させて整角四角形の問題を作り出すことができます．

　試しに頂角１０°（正３６角形），頂角２０°（正１８角形），頂角３０°（正１２角形）の場合について，中川宏さんが描いてくれた（タケノコ）図を見てみると，いずれの場合も正三角形が現れていることがわかるでしょう．

［１］頂角１０°（正３６角形）

［２］頂角２０°（正１８角形）

［３］頂角３０°（正１２角形）

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　１９７５年頃からラングレーの問題を一般的する研究が始められ，コンピュータの助けも借りて，すべての整角四角形の問題を求めることが可能になりました．

　　［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社

はその集大成になっています．

　この本は私のモヤモヤした気分をスッキリさせ，私を大いに喜ばせてくれましたし，今後も私のお気に入りの話題となるであろうと思います．斉藤浩さんの必要かつ十分な研究成果と少々特殊で風変わりな本を出版して頂いた現代数学社に感謝したいと思います．興味を持たれた読者の皆様には是非とも購読（購入して読破）されることをお勧めします．

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