【５】サマーヴィルの行列式

線分と三角形および四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．オイラーの四面体公式を行列式を使って表現すると２^3（３！）^2Δ^2＝｜０　　ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ａ^2　０　　ｄ^2　ｅ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｂ^2　ｄ^2　０　　ｆ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｃ^2　ｅ^2　ｆ^2　０　　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜１　　１　　１　　１　　０｜

ヘロンの公式とオイラーの四面体公式はｎ次元単体にも拡張されていて、サマーヴィルの行列式として知られています。また、デカルトの円定理をｎ次元空間におけるｎ＋2個の球面に拡張したものが、ケイリー・メンガーの行列式です。

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