■三角形の心(その30)

[Q]サマーヴィルの空間充填等面四面体(3辺の長さが2,√3,√3の等面四面体)の体積を求めよ

[A]72Δ^2=(−a^2+b^2+c^2)(a^2−b^2+c^2)(a^2+b^2−c^2)=4・2・4,Δ^2=4/9

[Q]3辺の長さが1,b,1の等面四面体の体積が最大となるbの値は

[A]72Δ^2=b^4(2−b^2),b^2=4/3

[Q]サマーヴィルの空間充填等面四面体(3辺の長さが2,√3,√3の等面四面体)と1辺の長さが√3の正四面体の高さを比較せよ

[A]等しい

[Q]3辺の長さが1,b,1の等面四面体の高さが最大となるbの値は

[A]底面積S^2は,ヘロンの公式より

S^2=b^2(4−b^2)/16,h^2=9V^2/S^2,b^2=4−√8

===================================