［３］チェバの定理とメネラウスの定理

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウス（ギリシャ、2000年前）とチェバ（イタリア、17-18世紀）の生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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3辺の長さが7,5,8の三角形は一つの角が60°となっているが(名古屋三角形)、整数比

AZ・BX・CY=AY・BZ・CX

2・5・3=2・5・3

5・3・2=3・2・5

3・2・4=1・4・6

4・6・1=4・3・2

3・4・2=4・3・2

2・4・5=2・4・5

を確かめることができる

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［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．

　λ＝μ＝ν＝１の場合，Ｍ＝１／４．

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