［３］チェバの定理とメネラウスの定理

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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　等チェバ線は

　（√３／２−Ｙ）・２（ａ＋１／２）／√３・２（ｃ−１）／√３

＝（Ｙ＋√３／２）・２（ａ−１）／√３・２（ｃ＋１／２）／√３＝ｃｏｎｓｙ

　（√３／２−Ｙ）（ａｃ−ａ＋ｃ／２−１／２）

＝（Ｙ＋√３／２）（ａｃ＋ａ／２−ｃ−１／２）

　√３／２（ａｃ−ａ＋ｃ／２−１／２）−Ｙ（ａｃ−ａ＋ｃ／２−１／２）＝√３／２（ａｃ＋ａ／２−ｃ−１／２）＋Ｙ（ａｃ＋ａ／２−ｃ−１／２）

　√３／２（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

−√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）

−Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋Ｙ（３ａ／４−３ｃ／４）

＝

　√３／２（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）

＋Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋Ｙ（３ａ／４−３ｃ／４）

　両辺に共通しているのは

　√３／２（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）＋Ｙ（３ａ／４−３ｃ／４）＝ｃｏｎｓｔ

ａｃ−１／２＝｛−３ｙ^2−２３ｘ^2−２ｘ＋７｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

（ａ＋ｃ）／４＝｛−３ｙ^2−５ｘ^2−１１ｘ−２）｝｛（２√３ｘｙ−

ａｃ−１／２−（ａ＋ｃ）／４＝｛−１８ｘ^2＋９ｘ＋９｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

３（ａ−ｃ）／４＝−９√３ｙ（２ｘ＋１）／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

√３／２・｛−１８ｘ^2＋９ｘ＋９｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

＋３ｙ／２（ｘ−１）・９√３ｙ（２ｘ＋１）／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）＝ｃｏｎｓｔ

√３／２・｛−１８ｘ^2＋９ｘ＋９｝＋３ｙ／２（ｘ−１）・９√３ｙ（２ｘ＋１）

＝ｃｏｎｓｔ（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

√３（ｘ−１）｛−１８ｘ^2＋９ｘ＋９｝＋３ｙ・９√３ｙ（２ｘ＋１）

＝ｃｏｎｓｔ・２（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）（ｘ−１）

　したがって，等チェバ線は３次曲線である．

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