■三角形の心(その20)

[3]チェバの定理とメネラウスの定理

 2つの定理は一見似たような定理ですが,メネラウスの定理は「3点が1直線上にある」ことを,チェバの定理は「3直線が1点で交わる」ことを示しています.そして,・・・

『与えられた三角形の各辺をλ:1,μ:1,ν:1に分ける位置に点をとる場合,3直線が1点で交わるための必要十分条件はλμν=1(チェバの定理),3点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν=−1(メネラウスの定理)である.』

 なお,メネラウスとチェバの生存時期も1500年以上違い,その間何もなされませんでした.不思議さを感じてしまいます.

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 チェバの定理は射影的な性質であるから,正三角形の場合で計算してみたい.半径1の単位円に内接する正三角形

  A(1,0)

  B(−1/2,√3/2)

  C(−1/2,−√3/2)

と正三角形の内部の点

  Z(x,y)

を考える.

 AXとBCの交点Z’は

  (Y−y)=(y−0)/(x−1)・(X−x)

  X=−1/2,Y=y/(x−1)・(−1/2−x)+y

  Y=−3y/2(x−1)

BZ’^2=(√3/2−Y)^2=c1

  CZ’^2=(Y+√3/2)^2=d1

 BXとCAの交点Z’は

  (Y−y)=(y−√3/2)/(x+1/2)・(X−x)

Y=1/√3・X−1/√3

  m=(y−√3/2)/(x+1/2)

より

  m・(X−x)+y=1/√3・X−1/√3

a=(mx−1/√3−y)/(m−1/√3)

b=1/√3・X−1/√3

  CZ’^2=(a+1/2)^2+(b+√3/2)^2

  AZ’^2=(a−1)^2+b^2

 CXとABの交点Z’は

  (Y−y)=(y+√3/2)/(x+1/2)・(X−x)

Y=−1/√3・X+1/√3

  n=(y+√3/2)/(x+1/2)

より

  n・(X−x)+y=−1/√3・X+1/√3

c=(nx+1/√3−y)/(n+1/√3)

d=−1/√3・X+1/√3

  AZ’^2=(c−1)^2+d^2=

  BZ’^2=(c+1/2)^2+(d−√3/2)^2

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  Y=−3y/2(x−1)

BZ’^2=(Y−√3/2)^2

  CZ’^2=(Y+√3/2)^2

  m=(2y−√3)/(2x+1)

  √3m−1=(2√3y−3)/(2x+1)

  √3mx−1−√3y=(−5x−1−√3y)/(2x+1)

  a=(−5x−√3y−1)/(2√3y−2x−4)

  b=√3/3・(a−1)

  CZ’^2=(a+1/2)^2+(b+√3/2)^2=4/3・(a+1/2)^2

  AZ’^2=(a−1)^2+1/3・(a−1)^2=4/3・(a−1)^2

  n=(2y+√3)/(2x+1)

  √3n+1=(2√3y+2x+4)/(2x+1)

  √3nx+1−√3y=(5x+1−√3y)/(2x+1)

c=(5x−√3y+1)/(2√3y+2x+4)

d=−√3/3・(c−1)

  AZ’^2=(c−1)^2+d^2=4/3・(c−1)^2

  BZ’^2=(c+1/2)^2+(d−√3/2)^2=4/3・(c+1/2)^2

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 (√3/2−Y)・2(a+1/2)/√3・2(c−1)/√3

=(Y+√3/2)・2(a−1)/√3・2(c+1/2)/√3

 (√3/2−Y)(a+1/2)(c−1)

=(Y+√3/2)(a−1)(c+1/2)

 (√3/2−Y)(ac−a+c/2−1/2)

=(Y+√3/2)(ac+a/2−c−1/2)

  Y(2ac−a/2−c/2−1)=√3/2・3/2・(c−a)

  Y=3√3(c−a)/(8ac−2a−2c−4)

であることが証明できればよいことになる.

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a−c={(−√3y−5x−1)(2√3y+2x+4)−(−√3y+5x+1)(2√3y−2x−4)}/(2√3y−2x−4)(2√3y+2x+4)

={−2√3y(2x+4)−4√3y(5x+1)}/{(2√3y)^2−(2x+4)^2}

=−12√3y(2x+1)/(12y^2−4x^2−16x−16)

a+c={(−√3y−5x−1)(2√3y+2x+4)+(−√3y+5x+1)(2√3y−2x−4)}/(2√3y−2x−4)(2√3y+2x+4)

={−12y^2−20x^2−44x−8)}/{(2√3y)^2−(2x+4)^2}

(a+c)/2={−6y^2−10x^2−22x−4)}{(2√3xy−

ac={(−√3y−5x−1)(−√3y+5x+1)/(2√3y−2x−4)(2√3y+2x+4)

={3y^2−25x^2−10x−1}/(12y^2−4x^2−16x−16)

2ac−1={−6y^2−46x^2−4x+14}/(12y^2−4x^2−16x−16)

2ac−1−(a+c)/2={−36x^2+18x+18}/(12y^2−4x^2−16x−16)

=−18(2x^2−x−1)/(12y^2−4x^2−16x−16)=−18(x−1)(2x+1)/(12y^2−4x^2−16x−16)

  Y=−3y/2(x−1)

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