■数のフィボナッチ数分割(その13)

【2】レイリーの定理(ヴィノグラードフの定理)

「α,βを1/α+1/β=1を満たす無理数,[]をガウス記号とするとき,2つの数列{an}={[nα]},{bn}={[nβ]}は共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与える.」

 

α≦βとすると,仮定からαは区間(1,2)にあることがわかりますが,たとえば,

  α=(1+√5)/2,β=(3+√5)/2=α+1=α^2

のとき,

ak=[nα]=1,3,4,6,8,9,11,12,14,16,17,・・・

bk=[nβ]=2,5,7,10,13,15,18,・・・

このとき,2つの整数列A={[nα]},B={[nβ]}において,

[1]排他性: A∩B={}

[2]相補性: A∪B={1,2,3,・・・}

すなわち、2つの数列には共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与えるというわけです.

α=√2,β=2+√2のときは,

ak=[nα]=1,2,4,5,7,8,9,11,12,14,・・・

bk=[nβ]=3,6,10,13,・・・

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相補的・排他的数列となるのは,

[1]2系列

[2]1/α1+1/α2=1

[3]α1は無理数

の場合に限られるのである.

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