【２】スー・モース数列（１）

スー・モース(Thue-Morse)数列は，非周期的自己相似数列である．

［１］０，１，２，３，４，５，６，７，・・・を２進数表記すると，

　　０，１，１０，１１，１００，１０１，１１０，１１１，・・・　　

［２］数字の総和を２で割った余りを計算すると

　　０，１，１，０，１，０，０，１，・・・

これはスー・モース数列と呼ばれるもので，この数列に自己相似という性質がある．たとえば，この数列をひとつ置きに選んでも同じ数列が得られる．最初の２つの数字を選ぶ，次の２つの数字を捨てるという操作を繰り返しても同じ数列が得られる．すなわち，この数列は非周期的ではあるが，まったくランダムではなく，強固な短期的・長期的構造をもっていて，同じ数字が３つ以上続くことはない．

ｎを２進展開したとき，現れる１の個数が奇数の場合ｔn＝１，現れる１の個数が偶数の場合ｔn＝０と定める．たとえば，ｎ＝２３では

　　２３＝（１０１１１）2→ｔ23＝０

　したがって，スー・モース数列｛ｔn｝は

　　０，１，１，０，１，０，０，１，

　　１，０，０，１，０，１，１，０，

　　１，０，０，１，０，１，１，０，

　　０，１，１，０，１，０，０，１，・・・

　ここには明確な回文構造が見られます．すなわち，先頭から２^n項があるとき，ビット単位に１と０を入れ替え，数列の後ろに連結します．すなわち， この数列に，部分列に各ビットの否定をとった部分列を付加すると

　　０

　　０１

　　０１１０

　　０１１０１００１

のように再帰的に構成できる．

［３］各世代は前の世代にその補数を加えればよい．たとえば，０１１０の補数は１００１であるから

０１１０＋１００１→０１１０１００１

［４］この数列を生成する別の方法もある．簡単な置換則

　　０→０１，１→１０

をもとに非周期的で再帰的に計算可能な数列を生成してみる．０から始めると

　　→０１

　　→０１１０

　　→０１１０１００１

　　→０１１０１００１１００１０１１０

　　→０１１０１００１１００１０１１０１００１０１１００１１０１００１

このような置換則はフラクタル幾何学でしばしば用いられますから，ご存知の方も多いと思います．

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フラクタルが登場するまで，図形の次元は１か２か３に限られていた．ブロッコリーのフラクタル次元は約２．８，海岸線は１．２８，人の肺は２．９７であるという．

幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできたＶ字型を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

フラクタル幾何学の父と呼ばれるマンデルブロは，星々がフラクタル的に凸凹に配列されている宇宙モデルを提唱した．もしそうならオルバースのパラドックスはビックバン理論なしでも解決できるからである．

　ユークリッド幾何学が宇宙の滑らかさを表しているのに対して，フラクタル幾何学は宇宙のデコボコをよく表しているといわれる所以である．

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