四角形の面積は，辺ａ、ｂのなす角をα，辺ｃ、ｄのなす角をβ，θ＝（α＋β）／２とすると，１９世紀になってから四角形の面積を正確に求めるブレットシュナイダーの公式が得られた．

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

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したがって、４辺の長さが与えられているとき、面積が最大になるのは、この四辺形が円に内接するときである。

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対角線の長さをAC=p,BD=q,それらの中点を結ぶ線分の長さをrとする。

a+b=p=-c-d,b+c=q=-a-d

r=p/2-q/2

p^2=a^2+b^2+2a・b=c^2+d^2+2c・d

q^2=b^2+c^2+2b・c=a^2+d^2+2a・d

r^2=p^2/4+q^2/4-p・q/2

4r^2=p^2+q^2-2p・q

p^2+q^2+4r^2=-2p^2+2q^2-2p・q=a^2+b^2+2a・b+c^2+d^2+2c・d+b^2+c^2+2b・c+a^2+d^2+2a・d-2p・q

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p・q=a・b+a・c+b^2+b・c

-p・q=a^2+a・d+a・b+b・d

-p・q=b・c+c^2+b・d+c・d

p・q=a・c+c・d+a・d+d^2

より

a^2+b^2+c^2+d^2+2a・b+2a・c+2a・d+2b・c+b・d+2c・d=0

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p^2+q^2+4r^2=a^2+b^2+c^2+d^2

16S^2=4p^2q^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2

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一方、

ABの中点とCDの中点を結ぶ線分m=a/2+b+c/2=-a/2-d-c/2

BCの中点とDAの中点を結ぶ線分m=-b/2-a-d/2=b/2+c+d/2

とすると

4m^2=-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2

4n^2=a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2

p^2+q^2=2(m^2+n^2)

4S^2=p^2q^2-(m^2-n^2)^2

という関係式が知られているそうだ。

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