■ブレットシュナイダーの公式(その32)

 四角形の面積は,辺a、bのなす角をα,辺c、dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,19世紀になってから四角形の面積を正確に求めるブレットシュナイダーの公式が得られた.

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos^2θ)^1/2

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したがって、4辺の長さが与えられているとき、面積が最大になるのは、この四辺形が円に内接するときである。

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対角線の長さをAC=p,BD=q,それらの中点を結ぶ線分の長さをrとする。

a+b=p=-c-d,b+c=q=-a-d

r=p/2-q/2

p^2=a^2+b^2+2a・b=c^2+d^2+2c・d

q^2=b^2+c^2+2b・c=a^2+d^2+2a・d

r^2=p^2/4+q^2/4-p・q/2

4r^2=p^2+q^2-2p・q

p^2+q^2+4r^2=-2p^2+2q^2-2p・q=a^2+b^2+2a・b+c^2+d^2+2c・d+b^2+c^2+2b・c+a^2+d^2+2a・d-2p・q

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p・q=a・b+a・c+b^2+b・c

-p・q=a^2+a・d+a・b+b・d

-p・q=b・c+c^2+b・d+c・d

p・q=a・c+c・d+a・d+d^2

より

a^2+b^2+c^2+d^2+2a・b+2a・c+2a・d+2b・c+b・d+2c・d=0

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p^2+q^2+4r^2=a^2+b^2+c^2+d^2

16S^2=4p^2q^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2

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