■包絡線(その4)

 長さ1の線分の一端A(cosθ,0)がx軸上に,他端(0,sinθ,0)がy軸上にあるとき,この線分の包絡線はアステロイドになることはよく知られている.このときOA^2+OB^2=1である.

 それでは,OA+OB=一定のときはどうなるのだろうか?

[3]線分の一端A(s,0)がx軸上に,他端(0,1−s)がy軸上にあるとき,この線分の包絡線は?

 線分ABの方程式は

  x/s+y/(1−s)=1

  u(s)=1/s,v(s)=1/(1−s)

  u’(s)x+v’(s)y=0

  −x/s^2+y/(1−s)^2=0

連立させてx,yについて解くと

  x=s^2,y=(1−s)^2

  x^1/2+y^1/2=1  (放物線)

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 移項して2乗すれば

  (x−y)^2=2(x+y)−1

これは放物線を表します.

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