■剰余の計算(その59)

ベネットは,実際に割り算することなしにこのことを確認しています.すなわち,

  641=5^4+2^4=5・2^7+1

  2^28(5^4+2^4)/641=2^28 (余り0)

  ((5・2^7)^4−1)/641=(5・2^7−1)((5・2^7)^2+1) (余り0)

したがって,2^28(5^4+2^4)−((5・2^7)^4−1)=2^32+1も641で割り切れる.

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1880年,ランドリーは(82才という高齢にもかかわらず)20桁の

  F6=2^64+1=274177×67280421310721

となることを示しました(根気と労力,忍耐と勇気,持続力と忍耐力).

フェルマー数

2^512+1,2^1024+1,2^2048+1,2^4096+1,・・・は素数ではないのですが,ランドリーはファルマー数以外

  2^58+1=5×107367629×536903681

も発表しています.

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その数年後,オーリフゥイユは

  536903681−5×107367629=2^16

に着目して

  2^58+1=(2^29−2^15+1)(2^29+2^15+1)

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また,リュカはこれを一般化して

  2^4n+2+1=(2^2n+1−2^n+1+1)(2^2n+1+2^n+1+1)

2^214+1=(2^107−2^54+1)(2^107+2^54+1)

であることを発見しました.すなわち,

  2^58+1=(2^29−2^15+1)(2^29+2^15+1)

はx=2^14のときの特別なケースなのです.

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