■オイラーのトーシェント関数(その70)

 m|φ(p^m-1)は任意のmについて成り立つトーシェント関数の(奇妙だが)重要な性質である。

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φ(p^m)=p^(m-1)(p-1)

φ(p^m)=p^(m-1)(p-1)

p^m-1=1 (modm)

φ(p^m)=(p-1) (modm)

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φ(p^m-1)=?

φ(p^m-1)=? (modm)

どうやって証明すればよいのだろうか?

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φ(m)はφ(1)=φ(2)=1を除いて常に偶数である。{φ(n)-2}/2は整数である。

φ(p^m-1)=2(1-1/2)・(p^m-1)/2・(1-1/q)(1-1/r)・・・

(b,m)=1であるbに対して、

b^φ(m)=1  (modm)

が成り立つ。

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