【１】シューアの定理とフェルマーの最終定理

　フェルマーの最終定理を研究する中で、フェルマーの最終定理を、素数を法とした合同式数式

　　ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^p　　(mod ｑ）

を考えることが注目された。

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[a]リブリの定理

　　奇素数ｐを固定する。ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^p　　(mod ｑ）の解が、xyz=0(mod ｑ）を満たすような自然数x,y,zしか存在しないような奇素数ｑが無限に存在するならば、最終定理は正しい。

したがって、無限列q,q2,q3,・・・を見つけられれば最終定理はめでたく解決となるわけですが、この方向性を否定したのがシューアのフェルマー合同式定理です。

[ｂ]シューアのフェルマー合同式定理

　　奇素数ｐを固定する。このｐに対して定数Ｎが存在して、ｑ≧Ｎなるすべての奇素数ｑに対して

　ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^p　　(mod ｑ）、xyz≠0(mod ｑ）を満たすような自然数x,y,zが存在する。

シューアの定理を利用すると、フェルマー合同式定理が証明されてしまい、リブルの定理の方向性は完全の閉ざされてしまうのです。

1916年にシューアは鳩ノ巣原理をを使って、わかりやすい証明を与えた。

ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m　　(mod ｐ）

ｐを十分に大きい素数と仮定するならば、ｐと互いの素な3つの整数ｘ、ｙ、ｚに対して、この合同式が成り立つという結果を示したことになる。

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