■中央二項係数とカタラン数(その2)

[定理]単位円に内接する正n角形のひとつの頂点から他のn−1個の頂点までの距離の平方和は2nに等しい

は任意の次元で成り立つ定理であるが,・・・

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[定理]単位円に内接する正n角形のひとつの頂点から他のn−1個の頂点までの距離の4乗和は6nに等しい

[定理]単位円に内接する正n角形のひとつの頂点から他のn−1個の頂点までの距離の6乗和は20nに等しい

[定理]単位円に内接する正n角形のひとつの頂点から他のn−1個の頂点までの距離の8乗和は70nに等しい

  Σ(1,n)|P1Pj|^2m=(2m,m)n

は正しい公式であるが,n>mであることが必要となる.したがって,6乗和公式,8乗和公式は正三角形に対しては成り立たない.8乗和公式は正方形に対しては成り立たない.

  m=1 → (2m,m)=2

  m=2 → (2m,m)=6

  m=3 → (2m,m)=20

  m=4 → (2m,m)=70

  m=5 → (2m,m)=252

  m=6 → (2m,m)=924

  m=7 → (2m,m)=3432

  m=8 → (2m,m)=12870

と続く.

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