■有限体とガロア体(その57)

【1】4元ガロア体

スカラー関数ではなく、ベクトル関数を選ぶのである。

{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}

加算は繰り上げを除けば要素ごとに行う。

(1,0)+(0,1)=(1、1)

(1,1)+(1,0)=(0、1)

乗算は(0,0)を0要素、(1,0)を1要素と定めると

残り2つの要素は逆要素でなければならないので

(0,1)・(1,1)=(1、0)

(0,1)・(0,1)=(1、1)

などと決めることができる

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【5】2^m元ガロア体の原始多項式

m=4の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

m=2の場合、π(x)=1+x+x^2

m=3の場合、π(x)=1+x+x^3

m=4の場合、π(x)=1+x+x^4

m=5の場合、π(x)=1+x^2+x^5

m=6の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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m=2場合、π(x)=1+x+x^2

g^0=(0,0))

g^1=(1,0)=1

g^2=(0,1)=x

g^3=(1,1)=1+x=x^2

g^4=(1,0)=1=x^3

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